Using the Potential Form to Express Ability
～られる

EXAMPLES TO GET STARTED:
あの人の　名前が　思い出せません。
  • I can't remember that person's name.
私は　さかなりょうりが　食べられません。
  • I can't eat fish. (i.e. I have an allergy, etc.)
友だちは　牛にゅうが　飲めない　です。
  • My friend can't drink milk. (i.e. They have an allergy, etc.)
1:  Formation with ichi-dan verbs
Verb stem ＋ られる／られない
  • 食(た)べる (eat)　→　食べられる／食べられない (can eat／can't eat)​
私は、たまごが　食べられない　です。
  • ​I can't eat eggs.
  • ​ねる (sleep)　→　ねられる／ねられない (can sleep／can't sleep)
どうろ工事は、うるさいので　よる　ねられない　です。
  • ​The road works are (so) noisy that (I) can't sleep at night.
2: Formation with go-dan verbs
え-line (from the hiragana chart) ＋ る／ない
  • 会(あ)う (meet)　→　会える／会えない (can meet／can't meet)​
東京に　行ったけれど、東京に　住んでいる友だちに　会えなかった　です。
  • I went to Tokyo, but I couldn't meet my friend who lives there/who lives in Tokyo.
  • ​行(い)く (go)　→　行ける／行けない (can go／can't go)​
かぜをひいて、きのう　学校に　行けなかった　です。
  • I caught a cold, and couldn't go to school yesterday.
  • ​およぐ (swim)　→　およげる／およげない (can swim／can't swim)​
毎日　水えいの　トレーニングをして、はやく　およげる　ように　なりました。　
  • I trained every day, and now I am able to swim fast.
  • ​話(はな)す (speak)　→　話せる／話せない (can speak／can't speak)​
日本語が　話せますが、ドイツ語は　話せません。　
  • I can speak Japanese, but I can't speak German.
  • ​待(ま)つ (wait)　→　待てる／待てない (can wait／can't wait)​
もう、まてない　ですよ。
  • We can't wait any longer.
  • ​遊(あそ)ぶ (play)　→　遊べる／遊べない (can play／can't play)​
天気よほうによると、あした　雨がふるから、子どもたちは　そとで　あそべないでしょうね。
  • According to the weather forecast, it'll rain tomorrow, so the children probably won't be able to play outside. 
  • ​読(よ)む (read)　→　読める／読めない (can read／can't read)​
よく　べんきょうした　から、かん字が　たくさん　よめるように　なりました。
  • I studied a lot, so now I can read lots of kanji. 
  • ​つくる (make)　→　つくれる／つくれない (can make／can't make)
バナナは　ないから、バナナケーキが　つくれないんですよ。
  • We don't have any bananas, so we can't make a banana cake. 
By the way, ALL verbs in the Potential Form become ichi-dan verbs. So, changing to the -ます form is easy!
3: With irregular verbs
  • くる (come)　→　こられる／こられない (can come／can't come)​
田中さんは　仕事が　いそがしいので、パーティーに　こられないんです。
  • Miss Tanaka is busy with work, so can't come to the party. 
  • ​する (do)　→　できる／できない (can do／can't do)
 ​パソコンが　こわれている　から、私は　仕事が　できません。
  • The computer is broken, so I can't do my work. 
One more point:
を from the ordinary sentence usually changes to が in the potential form
  • 日本語を話す (speak Japanese)　→　日本語が話せる (can speak Japanese)
  • ゲームをする (play computer games)　→　ゲームができる (can play computer games)